El problema de las taquillas

Mientras juegan el partido de fútbol, a los jugadores les han cambiado las taquillas de sitio. ¿Conseguirán dar con sus taquillas a la primera? Un nuevo reto de probabilidades para Pepe Vitruvio.

(Esta entrada participa en la Edición 7.2 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog La aventura de la ciencia)

PRIMERA PARTE

Una vez disputada la final del mundial de clubes entre el FC Barcelona y el River Plate, al presidente del Yokohama FC, organizador del torneo, se le presenta un dilema.

Los equipos finalistas le han regalado sendos balones de recuerdo, agradeciéndole la magnífica organización del torneo, para que los exhiba en el museo del estadio. El problema es que no sabe de quién es cada balón.

Curiosamente, entre los visitantes del museo se encuentra hoy Pepe Vitruvio, así que le ha solicitado su ayuda para este asunto.

- Qué es lo que ocurre?

- Como puedes ver, tanto el FC Barcelona como el River Plate nos han regalado dos balones con los que disputaron la final del mundial. El problema es que no sabemos qué balón corresponde a cada equipo, ya que su dedicatoria es muy parecida: nos agradecen la excelente organización.

- ¿Has probado a preguntarles cuál es el balón que ha firmado cada equipo?

- Sí, hablé con los capitanes, pero no me quisieron aclarar la duda.

- Y, ¿qué quieres que haga yo?

- Bueno, me han contado que eres muy bueno resolviendo este tipo de casos, así que he pensado que quizás nos podrías echar una mano.

- No veo de qué forma. ¿No han escrito nada más en los balones?

- Sí, en uno de ellos han escrito un cero, y en el otro han puesto 1/3. Si hubiesen anotado un cero y un 3, no lo dudaría, ya que el resultado fue de 3 goles a 0 a favor del Barcelona. Pero como han apuntado 1/3 en vez de 3, no sé qué hacer. He pensado que quizás tú me puedas ayudar.

- Pues la verdad es que no veo la forma de relacionar dichas cifras con los dos equipos. Además, si te has fijado, delante de ambos números hay un símbolo matemático que significa que es un valor aproximado, lo cual me intriga aún más.

SEGUNDA PARTE

- No nos va a quedar más remedio que exponer los balones sin identificarlos. Creo que, en realidad, se trata de una pequeña venganza por la broma que les gastamos con las taquillas...

- ¿Qué broma fue esa?

- Bueno. Mientras disputaban el encuentro, movimos todas las taquillas de sitio durante un buen rato, hasta que quedaron totalmente desordenadas. Además, no había forma de distinguir una de otra por fuera. Más o menos lo que nos sucede ahora con los balones.

- Y qué ocurrió.

- Pues algo realmente asombroso. Cuando los jugadores del River Plate regresaron a su vestuario,  sin conocer lo que habíamos hecho, se dirigieron a las taquillas donde habían guardado su ropa, y todos ellos acertaron con la taquilla correcta al primer intento. Sin embargo, con los jugadores del Barça, ocurrió justo lo contrario, ninguno de ellos acertó con su taquilla.

- Creo que ahí puede estar la solución a tu problema.

- No lo entiendo.

- Veamos, como ya has señalado, lo que ocurrió con los jugadores del River Plate fue algo extraordinario. La probabilidad de que todos ellos acierten con su taquilla es realmente mínima, cercana al 0%.

- Y lo mismo ocurrirá con los del Barça, ¿no? La probabilidad de que ninguno de ellos acierte con su taquilla también debe ser muy pequeña.

- Sí, aunque no es tan pequeña como piensas. Este caso se conoce como el caso del guardarropa, o de los sombreros de Euler. El problema original consistía en un guardarropa de un teatro, en el que los asistentes iban depositando sus sombreros, y el encargado, al término de la función, los entregaba de forma aleatoria.

La cuestión radica en calcular la probabilidad de que ninguna persona se lleve su sombrero, o de que haya 3 personas que sí se lleven el suyo, o de que el encargado acierte con todos ellos.

- Eso debe ser complicado de calcular, ¿no?

- Bueno, para Euler fue bastante sencillo. En un principio, toda probabilidad la obtenemos dividiendo los casos favorables entre los casos posibles.

Los casos posibles son fáciles de calcular: se trata de las permutaciones de 20 elementos, en este caso, 20 taquillas:

El lío viene a la hora de calcular los casos favorables (Fn).

- Y ¿cómo se hace?

- Si queremos calcular la probabilidad de que ninguno de ellos acierte con su taquilla, deberemos restar al número total de permutaciones obtenido (20!), todas las permutaciones en las que alguna taquilla queda en su sitio inicial. Supongamos que la primera taquilla ha quedado en su sitio. Entonces, habrá que calcular las permutaciones de las otras 19 taquillas:

Y como cualquiera de las 20 taquillas puede ser la que haya permanecido en su lugar, no solo la primera, entonces tendremos un total de 20 · 19! casos a restar de las permutaciones posibles:

- Pero, me parece que hemos restado casos de más. Así, si 2 taquillas están en su sitio inicial, las habremos restado dos veces: cuando calculábamos las permutaciones quedando fija la primera taquilla, y cuando calculábamos las permutaciones quedando fija la segunda casilla.

- Correcto. Al número de casos que habíamos obtenido, para compensar esa doble resta, deberíamos sumar las permutaciones en las que haya dos taquillas que estén en su lugar, da igual cuáles sean y el orden en que las tomemos. Las 18 taquillas restantes generarán un número de permutaciones que será 18!, Como hay C(20,2) combinaciones distintas de escoger las dos taquillas que coinciden entre el total de 20, tendremos que sumar, a la cantidad que habíamos obtenido, C(20,2) · 18! casos de ordenar las taquillas, en las que hay dos taquillas que sí están en su sitio..

- Sí pero ahora, y por el mismo razonamiento que antes, habremos sumado varias veces, los casos en que haya tres taquillas en su lugar...

- Claro, ahora deberemos restar la cantidad de C(20,3) · 17! casos. Y así seguiremos hasta hallar la cifra exacta de casos en que ninguno acierta con su casilla, y que vendrá dado por la fórmula:

Y generalizando para n elementos:

Si dividimos el número de casos favorables (Fn) , que es lo que estamos calculando, por el número de casos posibles (n!), llegaremos a la fórmula general que nos indica la probabilidad de que en un conjunto de n elementos, haya k elementos que coincidan, y que quedará así:

Cuando el número de elementos tiene a infinito, esta probabilidad de que haya k taquillas que queden en su lugar tiende al valor de:

Si tenemos que k=20, esto es, que todos los jugadores aciertan su taquilla, o lo que es lo mismo, que todas las taquillas han quedado en su sitio inicial, como les ha ocurrido a los jugadores del River, entonces tenemos que la probabilidad es de 1/20! = 4,11·10^-19, esto es, prácticamente cero, como ya previmos.

Y si particularizamos el caso para k=0, esto es, que ninguno de los jugadores acierte su taquilla, o lo que es lo mismo, que ninguna taquilla haya quedado en su sitio, como les ha ocurrido a los jugadores del Barcelona, entonces tenemos que la probabilidad es de 1/e,

- ¡Vaya, el famoso número e!

- Como sabes, el número e fue descubierto por el escocés John Napier sobre el año 1600, y ampliamente estudiado por Leonhard Euler. ¿Recuerdas la historia de los banderines de Euler?

- Sí. Pero nadie ha escrito una e en ninguno de los dos balones.

- Lo que aquí verdaderamente nos importa es el valor de este número trascendente e irracional:

e ≈ 2,7182818284…

- Así que 1/e es aproximadamente 1/3…

- Por tanto, podemos determinar que el balón con el número ≈ 1/3 se corresponde con el que nos dedicaron los jugadores del Barça, y el del ≈ 0 se corresponde con el del River Plate.

- ¡Efectivamente!

- Pues muchas gracias por todo, Pepe. Ahora mismo voy a rotular los dos balones. Espero verte en la próxima edición del Mundial. ¡Y sabes que tienes reservado uno de los mejores palcos!

- Muchas gracias, Yasuhiko. ¡Hasta el próximo mundial!

Si te apetece profundizar más sobre los temas tratados en esta historia, puedes visitar cualquiera de estas estupendas páginas: El número e al desnudo: orígenes y curiosidades, El número e, Aprendiendo de Euler, El número de euler: aplicaciones y didáctica, Invitation to discrete Mathematics.

Y no os olvidéis de dar una vuelta por el Carnaval de Matemáticas y votar la historia que más os guste. Allí encontraréis unos excelentes artículos matemáticos de los que disfrutaréis con su lectura.

La probabilidad y el amanecer

Es fácil decidir sobre varias ofertas cuando uno conoce los pormenores de todas ellas. Pero cuando falta algún dato, resulta complicado hallar un método satisfactorio para tomar la decisión correcta. En este caso, Michael Laudrup se enfrenta a una decisión sobre dos ofertas, de las cuales solo conoce una. Y parece que la aplicación de las matemáticas en este caso, lejos de ayudarle, le complican aún más la elección. ¿Conocerá la paradoja de la elección?

Esta entrada participa en la Edición 5.2. Emmy Noether del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Mates de David. Y si te gusta, también puedes votarla en Divúlgame, menéame y divoblogger. Muchas gracias.

PRIMERA PARTE

Amanece en una preciosa isla del Sur del Pacífico. Es un sitio tan alejado de cualquier otro lugar habitado, que ni siquiera llega la señal telefónica para conectarse a internet.

Tan sólo cada dos horas pasa por encima de la isla un satélite de telecomunicaciones, que permite a sus habitantes conectarse con el resto del mundo durante apenas un minuto.

Michael Laudrup ha escogido este idílico lugar para pasar unas tranquilas y merecidas vacaciones con su familia y con su amigo Luis Suárez.

Como cada mañana, se ha acercado a la costa para presenciar el hermoso amanecer. Son las ocho de la mañana. Justo en este momento pasa por encima el satélite, y el teléfono suena indicándole que tiene un mensaje.

No le apetece coger el telefóno, pero ve que se trata de un mensaje de su representante, así que finalmente decide leerlo. El mensaje dice así:

'Michael, tienes dos ofertas para entrenar la próxima temporada. Una es de la Juventus de Turín, y la otra es del Real Madrid. Como puedes ver, unos te ofrecen justo el doble que los otros.

El problema es que necesitan una respuesta inmediata, así que dentro de 2 horas, cuando tengas nuevamente conexión, deberás contestarme y decirme por cuál de los dos equipos has decidido fichar. Si no, ambos buscarán otro entrenador. La Juventus te ofrece 2 millones de euros, y el Real Madrid…'

¡Vaya! Justo en ese preciso momento, el satélite se había alejado lo suficiente como para que se cortase la conexión.

Michael tenía dos horas para decidir por cuál de los dos equipos fichar.

Así que bajó hasta la playa, y comenzó a meditar la respuesta que le daría a su representante.

Ambas ofertas procedían de dos equipos en los que había jugado, por lo que no sentía especial predilección por uno u otro.

La oferta de la Juve estaba muy bien, pero, ¿y si la del Real Madrid era mejor?

vs.

Iba a ser una difícil elección. Podía echarlo a suertes, pero creía que una decisión de tal importancia merecía buscar alguna forma lógica de tomar la decisión. Quizás los conocimientos de probabilidad que aún recordaba de sus estudios podrían ayudarle…

¿Te atreves a ayudar a Michael a escoger su nuevo equipo para la próxima temporada?

SEGUNDA PARTE

En un principio, Laudrup piensa que la oferta de la Juventus es bastante tentadora. Y además, hay un 50% de probabilidad de que la opción que escoja sea la mejor de las dos.

Ya me gustaría a mí ganar ese dinero cada año… Y dado que si escoge la oferta del Real Madrid se arriesga a ganar menos dinero, al cabo de las dos horas yo contestaría: ¡Ficho por la Juventus!

Pues sí, parece una elección lógica.

Sin duda. Si cambiando su elección puede ganar 2 millones, y sin embargo solo puede perder uno, la cosa está clara, ¿no?

Bueno, aquí estaríamos frente a un estudio económico sobre la utilidad marginal de esos 2 millones: Laudrup puede estar más preocupado por perder 1 millón, que interesado por ganar 2 millones más.

Pero vamos a suponer que a Michael le importa lo mismo el millón que puede ganar de más que el puede perder. y vamos a abordar el problema de otra forma. Veamos: tenemos una oferta de 2.000.000 € de la Juventus, ¿verdad?

Sí.

Y sabemos que una de las ofertas es el doble que la otra. Así que el Real Madrid puede haber ofrecido 1 millón o 4 millones de euros.

Correcto.

Bien, ahora vamos a calcular cuál es el salario estimado que obtendrá Laudrup si cambia de opinión y escoge fichar por el Real Madrid.

Hay un 50% de posibilidades de ganar 1 millón de euros,  y otro 50% de posibilidades de ganar 4 millones de euros. Así que la ganancia estimada de esta segunda opción, que llamaremos E(Q₂), la calcularemos hallando la media de los dos casos que se pueden dar:

Así que, si cambia de opción, su ganancia estimada será de 2 millones y medio, medio millón más que si se queda con la oferta del equipo de Turín, ¿no?

Efectivamente, si aplicamos las leyes de la probabilidad, Laudrup debería en este caso escoger la segunda opción, pues es más ventajosa para él. Pero además, esto no solo ocurrirá en este caso, sino que se dará siempre que el representante exprese la diferencia entre ambas ofertas en términos relativos.

No acabo de comprenderlo.

Llamemos Q_a y Q_b a las dos ofertas. Definimos r como la razón entre una y otra:

No nos importa cuál de las dos ofertas, Q_a o Q_b, es la mayor. En todo caso, r siempre será un número positivo mayor que cero (de momento, Laudrup no piensa entrenar ningún equipo de forma gratuita, así que ni Q_a ni Q_b son iguales a cero, ni tampoco piensa pagar dinero por hacerlo, por lo que Q_a y Q_b son dos valores positivos mayores que cero).

Si llamamos Q₁ a la oferta que tomamos en primer lugar, y Q₂ a la oferta que aún no hemos descubierto, tenemos que Q₂ puede valer (Q₁ · r) o bien (Q₁ / r).

Calculamos el valor estimado de Q₂, que llamaremos E(Q₂), sabiendo que ambas ofertas tienen la misma probabilidad de ser la de mayor importe:

Si definimos k como

Tenemos que

Vamos a ver gráficamente cómo se comporta el valor de k en función de los valores de r, esto es, según la diferencia que haya entre una y otra oferta:

Vemos que k será siempre mayor que 1, salvo en  el caso de que las dos ofertas sean iguales. por lo que el valor estimado de la oferta desconocida E(Q₂) siempre será mayor que el de la oferta que conocemos Q₁. Así que, sea como sea la primera opción, siempre deberemos escoger la segunda.

O sea, que Laudrup deberá contestar: ¡Ficho por el Real Madrid!

Sí, pero... ¿te imaginas qué ocurriría si el agente hubiese citado primero la oferta del Real Madrid? Siguiendo el mismo razonamiento, ahora Laudrup estaría pensando en fichar por la Juve...

No obstante, todo esto sólo pasa cuando la relación entre ambas ofertas la expresamos en términos relativos. Imaginémonos que su representante, en vez de decir que una oferta duplica la otra, hubiese dicho que una oferta es superior a la otra en 1.000.000 € por ejemplo, esto es, que hubiese cuantificado la diferencia en valores absolutos. ¿Qué es lo que sucedería?

No lo sé.

Vamos a calcular de nuevo la ganancia estimada de Laudrup si escoge la opción del Real Madrid:

Resulta que obtenemos una ganancia estimada de 2.000.000 €, ¡justo la misma cantidad que le ofrece la Juventus!

Vamos a verlo en términos matemáticos. Si ahora definimos

tenemos que:

Así que si la diferencia la contabilizamos en términos absolutos, y no relativos, ocurre que obtenemos una solución matemática más ‘lógica’…

Cierto, en este caso el resultado matemático coincide con lo que nos dicta el sentido común.

Y como las ofertas de ambos clubes son iguales, y tiene la misma simpatía por ambos, le costaría mucho decidirse por uno u otro, por lo que Michael finalmente contestaría: ¡Me quedo en mi equipo actual!

Bien, pero estas oportunidades no surgen todos los días. ¿No podemos ayudarle de alguna forma a decidirse por una de las dos ofertas?

Está bien, después de tantos cálculos, no le vamos a dejar sin una solución a su problema.

Ya hemos visto que según interpretemos los datos, la decisión puede ser distinta. ¿Qué debe hacer Laudrup para tomar una decisión correcta?

¿Te acuerdas de cuando Llorente no sabía qué hacer, si fichar por el Tottenham Hotspur o por el Aston Villa? Lo vimos hace un tiempo, en nuestra historia ‘La difícil decisión de Llorente’.

Ah, sí, ya me acuerdo. En aquel caso lo que debía hacer era aplicar la teoría de la parada óptima, ¿verdad?

Así es. Lo primero que Laudrup debe hacer es pensar cuánto quiere ganar por entrenar la próxima temporada, y cuando haya una oferta que iguale o supere esa cantidad, tomarla, sin pensar en que posteriormente puede tener ofertas mejores. Y puesto que en un principio la oferta de la Juventus le parecía suficientemente interesante y cumplía sus expectativas, sin duda debería aceptarla.

Entonces, podemos concluir que Laudrup contestará: ¡Ficho por la Juventus!

Lo siento, pero tampoco.

¿Cómo? ¿Hay algún razonamiento más que se nos haya escapado?

Sin duda. Este problema que se le ha planteado a Laudrup tiene una relación directa con la teoría de la decisión y la interpretación bayesiana de la probabilidad, y ha sido estudiado desde hace mucho tiempo por expertos en lógica, filosofía, matemáticas, etc. Se denomina la paradoja de los dos sobres o paradoja del cambio. En este enlace, podrás encontrar más información sobre el tema: Sobre la paradoja de los dos sobres, El problema de los dos sobres

Sí, pero, al final, ¿qué es lo que hizo Laudrup? Si no fichó por el Real Madrid, y tampoco por la Juve, ¿qué decisión tomó?

Finalmente, tras las 2 horas de paseo por la playa, decidió que en ninguno de los dos sitios, ni en Madrid ni en Turín, podría disfrutar de los magníficos amaneceres de esta isla. Y decidió que tampoco volvería a entrenar a su equipo actual: se tomaría un año sabático, descansando en este maravilloso lugar con su familia.

Y tras enviar el mensaje de respuesta a su representante, hizo lo que tenía que haber hecho cuando llegó a la isla: apagó el teléfono.

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Desayuno con Matemáticas

Desayuno con matemáticas. La paradoja de la amistad: una buena excusa para practicar con la media y la varianza.

PRIMERA PARTE

(Esta entrada participa en la Edición 4.1231056 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Scientia.)

Zlatan Ibrahimovic está triste, muy triste. Ello se debe a que cree que tiene pocos amigos en su equipo. 

Cuando hace un repaso a sus compañeros de equipo, se da cuenta de que casi todos sus amigos tienen más amigos que él. Y no sólo en los entrenamientos o en el vestuario, sino que también tienen más seguidores y amigos en las redes sociales (Facebook, Twitter, Linkedin, Google+...). 

Se ha hecho el firme propósito de cambiar esta situación a lo largo de esta temporada, por lo que busca a alguien que le aconseje sobre qué tiene que hacer para conseguir más amistades. Así que queda con su compañero Thiago Silva para desayunar en Les Deux Magots y hablar sobre el tema.

Hace un día espléndido en París, y ambos se sientan en la terraza para tomar un magnífico desayuno. Zlatan le plantea el problema a Thiago:

Mis amigos son mucho más populares que yo. Me he dado cuenta de que tienen más amigos, y me gustaría hacer algo para tener tantas amistades como ellos. 

Thiago Silva le responde de la siguiente forma:

No deberías preocuparte por lo que me dices. Es algo muy habitual, que no tiene nada que ver contigo. Se trata de un problema estrictamente matemático. 

¿Crees tú también que la culpa es de las Matemáticas? Piénsalo un momento, y pasa a ver la solución en la segunda parte.

SEGUNDA PARTE

Pues como bien dice Thiago Silva, se trata de un simple problema matemático, y no de otra índole. Veamos la explicación que le da Thiago a Ibra:

¿Conoces la paradoja de la amistad?  Según ella, lo más probable es que tus amigos tengan más amigos que tú…

Bueno, alguna vez he oído que las personas normalmente tendemos a hacernos amigos de aquellas personas que tienen muchos amigos, y en menor medida de las que tienen pocos amigos...

Sí, eso lo dijo el psicólogo Satoshi Kanazawa: la gente suele establecer amistad más frecuentemente con personas que tienen muchos amigos que con aquellas otras que tienen pocos. Aunque no se trata de eso exactamente, sino que más bien deberíamos fijarnos en los estudios del sociólogo Feld.

¿Este Feld es el que descubrió la paradoja de la amistad?

Sí. En realidad, la paradoja de la amistad de Feld es una propiedad de la Teoría de Grafos, por la cual se establece que es muy probable que nuestros amigos tengan más amigos de los que tenemos nosotros…

¿Cómo es posible?

Thiago coge una libreta y comienza a poner sobre el papel las relaciones de amistad de Ibra.

Vamos a verlo de forma gráfica. Escribiremos en este papel los 11 jugadores que normalmente son titulares en el equipo (lista de la derecha).
Ahora vamos a representar gráficamente las relaciones de amistad entre ellos. A los jugadores los identificaremos con un círculo azul (vértices), y pondremos dentro del círculo el número de su dorsal. A los que sean amigos, los uniremos mediante una línea roja (aristas).

Y al lado de cada jugador contaremos el número de amigos que tiene (líneas rojas) y lo escribiremos en color lila. De esta forma podemos ver gráficamente todas las relaciones de amistad existentes en el equipo.

Como puedes ver, tú eres el círculo azul con el número 10 dentro de él. De ti parten 3 líneas rojas, que van hacia tus 3 amigos: Pastore (27), Lucas (29) y Lavezzi (22). Y por eso he escrito un 3 de color lila al lado de tu círculo, porque tienes 3 amigos.

Ahora, a partir de este gráfico, vamos a confeccionar una tabla del siguiente modo. En la línea correspondiente a cada jugador apuntaremos, en las casillas donde se cruza su fila con las columnas de sus amigos, el número de amigos que tienen éstos. En la tabla de la derecha, en la primera columna pondremos el total de amigos (relaciones o líneas rojas) que tiene cada jugador. En la segunda columna sumaremos todos los amigos de sus amigos. Y en la tercera columna calcularemos la media de los amigos de sus amigos, dividiendo la suma de amigos de los amigos entre el número de amigos.

Vamos primero contigo, Ibra, que eres el número 10. Fíjate en la fila del 10: tienes 3 amigos, que son Lavezzi (22), Lucas (29) y Pastore (27). Lavezzi (22) tiene 3 amigos, así que hemos colocado un 3 en la casilla que cruza tu fila 10 con la columna 22. Lucas (29) tiene 7 amigos, así que escribimos un 7 en la casilla que cruza tu fila 10 con su columna 29. Y Pastore (27) tiene 2 amigos, así que hemos escrito un 2 en al casilla correspondiente.

Pues así procedemos con todos los jugadores, y vemos qué ocurre en la tabla de la derecha.

Si nos fijamos en cuántos jugadores tienen más amigos que la media de sus amigos, vemos en color rojo que, sorprendentemente, sólo hay 3 jugadores (23, 2 y 29) que tienen más amigos que la media de sus amigos (el número de la primera columna es mayor que el de la tercera), y los 8 restantes tienen menos amigos que la media de sus amigos. Y como podemos comprobar, la media total de amigos 

42 / 11 = 3,82 

es bastante inferior que la media total de los amigos de los amigos:

182 / 42 = 4,33

¿Y por qué ocurre esto?

Esto tiene que ver con las propiedades de la media geométrica y de la varianza estadística. Vamos a coger otro papel, y esta vez nos centraremos tan solo en las relaciones de amistad que tienen entre los 4 defensas.

Vemos que Van der Wiel (23) tiene 2 amigos, Jallet (26) tiene 2 amigos, Maxwell (17) tiene sólo un amigo, y yo, Thiago (2), tengo 3 amigos.

Calculamos la media de amigos que tienen los defensas: (3+2+2+1)/4 = 2. Comprobamos que los defensas en general tienen 2 amigos de media cada uno.

Ahora vamos a calcular la media de amigos de los amigos que tienen los defensas. Van der Wiel (23) tiene dos amigos, que tienen 2 y 3 amigos, respectivamente. Jallet (26) tiene dos amigos, los cuales tienen 2 y 3 amigos. Maxwell (17) tiene un amigo, que tiene 3 amigos. Y yo (2) tengo tres amigos, con 2, 2 y 1 amigo, respectivamente.

Así, tenemos los siguientes datos:

2, 3, 2, 3, 2, 2, 1, 3. 

Los reordenamos así:

3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 1

Y calculamos la media:

(3+3+3 + 2+2 + 2+2 + 1) / 8 = 

(3·3 + 2·2 + 2·2 + 1·1) / 8 =

(3² + 2² + 2² + 1²) / 8 = 

2,25

Vemos cómo también, de forma aparentemente sorprendente, la media de amigos de los amigos de los defensas es 2,25, superior a la media de amigos de los defensas que calculamos antes, y que era 2.

Pues es verdad. ¿Y esto ocurre siempre?

Sí, siempre. Salvo que todos tengan el mismo número de amigos. En ese caso las dos medias son iguales.

¿Y por qué sucede esto?

Bueno, si te das cuenta, cuando he calculado la media de amigos de los amigos, he reordenado de una forma especial los datos que teníamos.

2, 3, 2, 3, 2, 2, 1, 3   →   3, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 1

Sí, me he fijado. ¿Por qué lo has hecho?

Lo he hecho para que te dieras cuenta de lo siguiente: las personas que tienen muchos amigos las incorporamos dentro de la suma muchas veces, de hecho, tantas veces como amigos tienen (3 veces el número 3), mientras que las personas que tienen pocos amigos las incluimos en menor medida (1 vez el número 1). Ello significa que dentro de la media, tienen mayor peso aquellas personas que tienen más amigos (3+3+3+2+2+2+2+1), y por eso la media global sube.

Sin embargo, en la media de los amigos, sólo las sumamos una vez (3+2+2+1), esto es, tienen el mismo peso tanto las que tienen muchos amigos como las que tienen pocos.

Creo que ya lo entiendo, pero no acabo de estar seguro de que una media tenga que ser mayor que la otra por ese motivo.

Bueno, pues vayamos entonces a la demostración matemática.

Llamemos x_i al número de amigos del jugador i, y μ a la media de amigos de los n jugadores del equipo, que será igual a:

Ahora vamos a ver cómo calculamos la media de los amigos de los jugadores.  Ya hemos visto con el ejemplo de los defensas a qué corresponde la suma de los amigos de los amigos, concretamente a ∑(x_i²), y que el número total de amistades entre ellos es ∑x_i. Por lo que la media de los amigos de los amigos, a la que vamos a llamar μ' será:

Nos queda por averiguar si μ es mayor, menor o igual que μ'.

Para eso vamos a utilizar la fórmula de la varianza estadística (σ²). Sabemos que:

De ahí se deduce que:

Dividimos por ∑(x_i) ambos términos y nos queda:

Así que:

O lo que es lo mismo: μ' = μ + un valor que ha de ser mayor o igual que cero, ya que la varianza estadística es siempre positiva, y la media de amigos también lo es.

Por tanto, en un grupo la media de los amigos de los amigos siempre será mayor o igual que la media de los amigos.

Bien, con esta explicación matemática definitivamente me has convencido. ¿Y todos estos estudios sirven para algo más que para que la gente no se deprima por tener menos amigos que sus amigos?

Bueno, esto tiene múltiples aplicaciones en otros muchos ámbitos de la vida. Por ejemplo, se utiliza para el control de enfermedades. Así, a nosotros nos realizan de forma periódica controles de sangre para saber si tenemos alguna enfermedad contagiosa. Para ello, cada mes el club escoge al azar a 5 jugadores, y les realiza distintos análisis. ¿A que ahora se te ocurre una forma mejor de realizar estos controles?

Creo que sí...

Efectivamente, deberían escoger 5 jugadores al azar, y que luego estos les indicasen el nombre de sus amigos. Como estos jugadores seguro que tienen una media de amigos superior a la de los jugadores elegidos inicialmente, también tendrán una probabilidad mucho mayor de estar infectados, ya que al tener más amistades están más expuestos al contagio. De esta forma conseguimos una muestra de jugadores más significativa que si la seleccionamos al azar.

Justo lo que estaba pensando. 

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Esta es la forma en la que se realizan ciertos controles sanitarios en colegios, hospitales, residencias de mayores, etc. Otra aplicación es para que cuando alguien vaya a un gimnasio no se desmoralice porque vea que la mayoría de la gente está en mejor forma que él... Esto no nos ocurre a nosotros, ¿verdad, Ibra? En este caso lo que deben pensar es que, cuando echan un vistazo a la gente que está en el gimnasio, la muestra que están extrayendo está sesgada, ya que lo más probable es que la gente que vean son aquellos que pasan más horas allí y que, por tanto, están en mejor condición física.

También podemos utilizar este tipo de muestra para otras cosas. Así, es una técnica muy útil para los niños que coleccionan cromos de futbolistas como nosotros. Pueden aplicar la paradoja de la amistad para completar mejor un álbum. Normalmente, cuando tienen cromos repetidos intentan cambiarlos entre sus amigos. Pero así casi nunca completan su colección.

Es mejor que en el recreo se acerquen a unos cuantos niños elegidos al azar y les pidan que les presenten a sus amigos, porque así conseguirán intercambiar sus cromos con los niños más populares del colegio que, al tener más contactos, tienen más probabilidades de tener esos cromos que les faltan. Aunque deberán tener cuidado cuando intercambien los cromos, ya que correrán un serio riesgo de contagio...

Y así puedes entender también por qué cuando vamos de vacaciones a la playa, nos encontramos que normalmente suelen estar bastante abarrotadas. ¿Dónde están esas playas paradisíacas y desiertas que aparecen en los catálogos de viajes? Una vez más, hay muchas probabilidades de que la playa a la que vamos esté llena de gente, y muy pocas de que esté prácticamente desierta, debido a esta paradoja.

O también se explica por qué la mayor parte de los acertantes de las quinielas deportivas muy probablemente tienen que compartir su premio con otros acertantes.

Entonces, no debo preocuparme por tener tan pocos amigos,  ¿no?

En absoluto. Ya ves que ocurre en todas partes. No solo en el Paris Saint Germain, sino en todos los equipos: en el Real Madrid, AC Milán, Manchester United, L.A. Galaxy, Santos, FC Barcelona... Y le ocurre a casi todos los jugadores: Cristiano Ronaldo, Neymar, Falcao, Messi...

¿De verdad? -pregunta Ibra esbozando una tímida sonrisa-. Creo que después de estas explicaciones, y a la vista de lo tarde que se nos ha hecho, bien merece que te invite a comer a un restaurante que conozco...

Sí, pero antes apunta estos enlaces, por si estás interesado en conocer más sobre el tema de la paradoja de la amistad: 'Yo quiero tener 42 amigos' de Clara Grima y Raquel García, o 'La paradoja matemática de forever alone' de Ciencia Explicada.