El traspaso imposible.

A un representante de jugadores agobiado por no haber efectuado ningún traspaso durante el verano, de pronto se le presenta una oportunidad única. El problema es que el equipo comprador y el vendedor tienen intereses aparentemente opuestos. ¿Será capaz de contentar a ambas partes? La paradoja de Will Rogers y la teoría de los juegos.

(Esta entrada participa en la Edición 5.6 Paul Erdös del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Cifras y Letras.)

PRIMERA PARTE

Ha sido un mal verano para Klaus Händler.

Klaus es representante de jugadores, y durante los últimos meses ninguna de las operaciones de traspaso que ha negociado ha llegado a buen término.

Algunos de los clubes con los que trabaja no tienen dinero para fichajes debido a la crisis, y además, varios de los jugadores a los que representa se han lesionado.

Está pensando que seguramente tendrá que vender alguno de sus queridísimos Lamborghini para poder afrontar los gastos de su acomodada vida durante este invierno, cuando, de pronto, suena el teléfono.

Es Josef, presidente del FC Schalke 04:

- Klaus, tenemos ahora mismo 5 delanteros en la plantilla, y necesitamos vender uno de ellos. Mira a ver qué puedes hacer...

Justo después de colgar, recibe una nueva llamada. Esta vez es Wolfgang, presidente del Bayer 04 Leverkusen:

- Klaus, ¿cómo estás? Te llamo porque faltan pocas horas para que se cierre el mercado de fichajes, y queremos contratar un delantero más...

Parece que a Klaus se le presenta una oportunidad única para no tener que vender sus coches de lujo.

Pero hay un problema. Ambos equipos están interesados en incrementar la capacidad goleadora media de su delantera y, a la vez, reducir la nómina media de sus jugadores.

Klaus realiza unas cuantas llamadas a varios equipos, para ver si puede casar alguna operación, pero todos los equipos han cerrado ya sus plantillas.

Está claro que tampoco resulta viable vender uno de los delanteros del Schalke al Bayer, dadas las condiciones impuestas por ambos equipos. Entonces, ¿qué puede hacer Klaus? ¿Le podremos ayudar de alguna forma?

SEGUNDA PARTE

A Klaus se le ha ocurrido llamar a su amigo Pepe Vitruvio, para que le ayude con este problema aparentemente irresoluble.

- Pepe, por lo que yo sé, ocurre que si traspasamos un jugador del Schalke 04 al Bayer Leverkussen, la capacidad goleadora media de la delantera de Bayer se incrementará en la misma proporción en la que disminuye la del Schalke. Y, de igual forma, la nómina media del Bayer se incrementará en la misma proporción en la que se reduce la del Schalke.

- Así que, según me comentas, todo lo que pierde un equipo lo gana el otro. Eso es lo que se denomina juego de suma cero en las teorías matemáticas de juegos.  Pero no siempre ocurre así. Al igual que en la vida real, pueden darse situaciones en las que ambas partes salgan beneficiadas o perjudicadas (juegos de suma no nula).

- Sí, aunque en este caso, no veo que pueda ser así.

- Bueno, podemos intentarlo. Me has comentado que ambos equipos quieren incrementar la capacidad goleadora media de su delanteros, y a la vez reducir la nómina media de los mismos, ¿verdad?

- Sí, así es.

- Si hablásemos en valores absolutos, no habría ninguna forma de hacerlo. Pero como se trata de medias, la cosa cambia. ¿Me puedes dar los datos de goles y sueldos de los delanteros de ambos equipos?

- Sí, claro, aquí los tengo.

- Bien, pues vamos a calcular la media de goles y salarios de ambas delanteras.

- Ahora podemos comprobar que sí hay solución para tu problema. Solamente tenemos que aplicar la paradoja de Will Rogers.

- Y... ¿eso qué es?

- Esta paradoja hace referencia a un comentario que hizo Will Rogers, un artista nortemericano, a principios del siglo XX:  “When the Okies left Oklahoma and moved to California, they raised the average intelligence level in both states." (Cuando los ciudadanos de Oklahoma se desplazan a California, la inteligencia media de ambos estados crece).

- Con ello, lo que daba a entender es que incluso cuando los ciudadanos de Oklahoma que se marchaban a California eran los menos inteligentes de su estado, aún así eran más inteligentes que los habitantes de California, ¿verdad?

- Efectivamente. De esa manera, cualquier ciudadano de Oklahoma cuya inteligencia esté por debajo de la media estatal que se traslade a vivir a California hace que se incremente la inteligencia media de ambos estados por separado.

- Y eso cómo lo podemos aplicar a nuestro caso?

- Bien. Vamos a fijarnos en el jugador del Schalke 04, el peruano Jefferson Farfán. Su capacidad goleadora es menor que la media de su equipo, pero cobra más que la media de sus compañeros. Sin embargo, mete más goles que la media de los delanteros del Bayer Leverkussen, y cobra menos que ellos.

- Ahora lo veo claro. Si traspasamos dicho jugador de un equipo a otro, suponiendo que cobrará lo mismo y que marcará los mismos goles, los dos equipos mejorarán ambas medias.

- Así es, veamos lo que ocurre en la tabla.

- Es verdad, los dos equipos han incrementado su media de goles por partido, y han reducido el importe medio de sus salarios ¿Y esto ocurre siempre?

- No, no siempre. Pero a veces sí pasa, como en este caso.

- Pues acabas de solucionarme la vida este invierno. Tendré que invitarte a una buena comida…

- Creo que no te costará algo más que una comida. Prefiero que hagamos el siguiente trato: me pagarás en función de los goles que marque a lo largo de la temporada. Si mete un gol, me pagará 2 bitcoins. Si mete 2, me pagarás el doble, 4 bitcoins. Si mete 3 goles, me pagarás el doble, esto es 8 bitcoins. Y así sucesivamente.

- Me parece un trato justo y razonable. Estamos de acuerdo.

El fichaje se llevó a cabo. El Schalke vendió a uno de sus jugadores sobrantes, el Bayer se hizo con los servicios de un extraordinario delantero, y Klaus no tuvo que vender ninguno de sus preciosos Lamborghini. Al menos durante ese invierno, ya que Farfán marcó 25 goles con su nuevo equipo…

¿Sabes calcular cuántos bitcoins le tuvo que pagar Klaus Händler a Pepe Vitruvio al final de la temporada?

Si te apetece profundizar más sobre este tema del fenómeno Will Rogers y sobre la teoría de juegos, puedes visitar cualesquiera de estas estupendas páginas: Conjuntos y medias, Fenómeno de Will Rogers, El fenómeno Will Rogers, Introducción a la teoría de juegos.

Más abajo os dejo otros enlaces, por si os gustó la historia y queréis compartirla vuestros amigos.

Y no os olvidéis de dar una vuelta por el Carnaval de Matemáticas y votar la historia que más os guste. Allí encontraréis unos excelentes artículos matemáticos de los que disfrutaréis con su lectura.

Si te gustó esta historia, puedes votar por ella en menéame y divoblogger. Muchas gracias.

La probabilidad y el amanecer

Es fácil decidir sobre varias ofertas cuando uno conoce los pormenores de todas ellas. Pero cuando falta algún dato, resulta complicado hallar un método satisfactorio para tomar la decisión correcta. En este caso, Michael Laudrup se enfrenta a una decisión sobre dos ofertas, de las cuales solo conoce una. Y parece que la aplicación de las matemáticas en este caso, lejos de ayudarle, le complican aún más la elección. ¿Conocerá la paradoja de la elección?

Esta entrada participa en la Edición 5.2. Emmy Noether del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Mates de David. Y si te gusta, también puedes votarla en Divúlgame, menéame y divoblogger. Muchas gracias.

PRIMERA PARTE

Amanece en una preciosa isla del Sur del Pacífico. Es un sitio tan alejado de cualquier otro lugar habitado, que ni siquiera llega la señal telefónica para conectarse a internet.

Tan sólo cada dos horas pasa por encima de la isla un satélite de telecomunicaciones, que permite a sus habitantes conectarse con el resto del mundo durante apenas un minuto.

Michael Laudrup ha escogido este idílico lugar para pasar unas tranquilas y merecidas vacaciones con su familia y con su amigo Luis Suárez.

Como cada mañana, se ha acercado a la costa para presenciar el hermoso amanecer. Son las ocho de la mañana. Justo en este momento pasa por encima el satélite, y el teléfono suena indicándole que tiene un mensaje.

No le apetece coger el telefóno, pero ve que se trata de un mensaje de su representante, así que finalmente decide leerlo. El mensaje dice así:

'Michael, tienes dos ofertas para entrenar la próxima temporada. Una es de la Juventus de Turín, y la otra es del Real Madrid. Como puedes ver, unos te ofrecen justo el doble que los otros.

El problema es que necesitan una respuesta inmediata, así que dentro de 2 horas, cuando tengas nuevamente conexión, deberás contestarme y decirme por cuál de los dos equipos has decidido fichar. Si no, ambos buscarán otro entrenador. La Juventus te ofrece 2 millones de euros, y el Real Madrid…'

¡Vaya! Justo en ese preciso momento, el satélite se había alejado lo suficiente como para que se cortase la conexión.

Michael tenía dos horas para decidir por cuál de los dos equipos fichar.

Así que bajó hasta la playa, y comenzó a meditar la respuesta que le daría a su representante.

Ambas ofertas procedían de dos equipos en los que había jugado, por lo que no sentía especial predilección por uno u otro.

La oferta de la Juve estaba muy bien, pero, ¿y si la del Real Madrid era mejor?

vs.

Iba a ser una difícil elección. Podía echarlo a suertes, pero creía que una decisión de tal importancia merecía buscar alguna forma lógica de tomar la decisión. Quizás los conocimientos de probabilidad que aún recordaba de sus estudios podrían ayudarle…

¿Te atreves a ayudar a Michael a escoger su nuevo equipo para la próxima temporada?

SEGUNDA PARTE

En un principio, Laudrup piensa que la oferta de la Juventus es bastante tentadora. Y además, hay un 50% de probabilidad de que la opción que escoja sea la mejor de las dos.

Ya me gustaría a mí ganar ese dinero cada año… Y dado que si escoge la oferta del Real Madrid se arriesga a ganar menos dinero, al cabo de las dos horas yo contestaría: ¡Ficho por la Juventus!

Pues sí, parece una elección lógica.

Sin duda. Si cambiando su elección puede ganar 2 millones, y sin embargo solo puede perder uno, la cosa está clara, ¿no?

Bueno, aquí estaríamos frente a un estudio económico sobre la utilidad marginal de esos 2 millones: Laudrup puede estar más preocupado por perder 1 millón, que interesado por ganar 2 millones más.

Pero vamos a suponer que a Michael le importa lo mismo el millón que puede ganar de más que el puede perder. y vamos a abordar el problema de otra forma. Veamos: tenemos una oferta de 2.000.000 € de la Juventus, ¿verdad?

Sí.

Y sabemos que una de las ofertas es el doble que la otra. Así que el Real Madrid puede haber ofrecido 1 millón o 4 millones de euros.

Correcto.

Bien, ahora vamos a calcular cuál es el salario estimado que obtendrá Laudrup si cambia de opinión y escoge fichar por el Real Madrid.

Hay un 50% de posibilidades de ganar 1 millón de euros,  y otro 50% de posibilidades de ganar 4 millones de euros. Así que la ganancia estimada de esta segunda opción, que llamaremos E(Q₂), la calcularemos hallando la media de los dos casos que se pueden dar:

Así que, si cambia de opción, su ganancia estimada será de 2 millones y medio, medio millón más que si se queda con la oferta del equipo de Turín, ¿no?

Efectivamente, si aplicamos las leyes de la probabilidad, Laudrup debería en este caso escoger la segunda opción, pues es más ventajosa para él. Pero además, esto no solo ocurrirá en este caso, sino que se dará siempre que el representante exprese la diferencia entre ambas ofertas en términos relativos.

No acabo de comprenderlo.

Llamemos Q_a y Q_b a las dos ofertas. Definimos r como la razón entre una y otra:

No nos importa cuál de las dos ofertas, Q_a o Q_b, es la mayor. En todo caso, r siempre será un número positivo mayor que cero (de momento, Laudrup no piensa entrenar ningún equipo de forma gratuita, así que ni Q_a ni Q_b son iguales a cero, ni tampoco piensa pagar dinero por hacerlo, por lo que Q_a y Q_b son dos valores positivos mayores que cero).

Si llamamos Q₁ a la oferta que tomamos en primer lugar, y Q₂ a la oferta que aún no hemos descubierto, tenemos que Q₂ puede valer (Q₁ · r) o bien (Q₁ / r).

Calculamos el valor estimado de Q₂, que llamaremos E(Q₂), sabiendo que ambas ofertas tienen la misma probabilidad de ser la de mayor importe:

Si definimos k como

Tenemos que

Vamos a ver gráficamente cómo se comporta el valor de k en función de los valores de r, esto es, según la diferencia que haya entre una y otra oferta:

Vemos que k será siempre mayor que 1, salvo en  el caso de que las dos ofertas sean iguales. por lo que el valor estimado de la oferta desconocida E(Q₂) siempre será mayor que el de la oferta que conocemos Q₁. Así que, sea como sea la primera opción, siempre deberemos escoger la segunda.

O sea, que Laudrup deberá contestar: ¡Ficho por el Real Madrid!

Sí, pero... ¿te imaginas qué ocurriría si el agente hubiese citado primero la oferta del Real Madrid? Siguiendo el mismo razonamiento, ahora Laudrup estaría pensando en fichar por la Juve...

No obstante, todo esto sólo pasa cuando la relación entre ambas ofertas la expresamos en términos relativos. Imaginémonos que su representante, en vez de decir que una oferta duplica la otra, hubiese dicho que una oferta es superior a la otra en 1.000.000 € por ejemplo, esto es, que hubiese cuantificado la diferencia en valores absolutos. ¿Qué es lo que sucedería?

No lo sé.

Vamos a calcular de nuevo la ganancia estimada de Laudrup si escoge la opción del Real Madrid:

Resulta que obtenemos una ganancia estimada de 2.000.000 €, ¡justo la misma cantidad que le ofrece la Juventus!

Vamos a verlo en términos matemáticos. Si ahora definimos

tenemos que:

Así que si la diferencia la contabilizamos en términos absolutos, y no relativos, ocurre que obtenemos una solución matemática más ‘lógica’…

Cierto, en este caso el resultado matemático coincide con lo que nos dicta el sentido común.

Y como las ofertas de ambos clubes son iguales, y tiene la misma simpatía por ambos, le costaría mucho decidirse por uno u otro, por lo que Michael finalmente contestaría: ¡Me quedo en mi equipo actual!

Bien, pero estas oportunidades no surgen todos los días. ¿No podemos ayudarle de alguna forma a decidirse por una de las dos ofertas?

Está bien, después de tantos cálculos, no le vamos a dejar sin una solución a su problema.

Ya hemos visto que según interpretemos los datos, la decisión puede ser distinta. ¿Qué debe hacer Laudrup para tomar una decisión correcta?

¿Te acuerdas de cuando Llorente no sabía qué hacer, si fichar por el Tottenham Hotspur o por el Aston Villa? Lo vimos hace un tiempo, en nuestra historia ‘La difícil decisión de Llorente’.

Ah, sí, ya me acuerdo. En aquel caso lo que debía hacer era aplicar la teoría de la parada óptima, ¿verdad?

Así es. Lo primero que Laudrup debe hacer es pensar cuánto quiere ganar por entrenar la próxima temporada, y cuando haya una oferta que iguale o supere esa cantidad, tomarla, sin pensar en que posteriormente puede tener ofertas mejores. Y puesto que en un principio la oferta de la Juventus le parecía suficientemente interesante y cumplía sus expectativas, sin duda debería aceptarla.

Entonces, podemos concluir que Laudrup contestará: ¡Ficho por la Juventus!

Lo siento, pero tampoco.

¿Cómo? ¿Hay algún razonamiento más que se nos haya escapado?

Sin duda. Este problema que se le ha planteado a Laudrup tiene una relación directa con la teoría de la decisión y la interpretación bayesiana de la probabilidad, y ha sido estudiado desde hace mucho tiempo por expertos en lógica, filosofía, matemáticas, etc. Se denomina la paradoja de los dos sobres o paradoja del cambio. En este enlace, podrás encontrar más información sobre el tema: Sobre la paradoja de los dos sobres, El problema de los dos sobres

Sí, pero, al final, ¿qué es lo que hizo Laudrup? Si no fichó por el Real Madrid, y tampoco por la Juve, ¿qué decisión tomó?

Finalmente, tras las 2 horas de paseo por la playa, decidió que en ninguno de los dos sitios, ni en Madrid ni en Turín, podría disfrutar de los magníficos amaneceres de esta isla. Y decidió que tampoco volvería a entrenar a su equipo actual: se tomaría un año sabático, descansando en este maravilloso lugar con su familia.

Y tras enviar el mensaje de respuesta a su representante, hizo lo que tenía que haber hecho cuando llegó a la isla: apagó el teléfono.

Si te gustó esta historia, puedes votar por ella en Divúlgame, menéame y divoblogger. Muchas gracias.