El problema de las taquillas

Mientras juegan el partido de fútbol, a los jugadores les han cambiado las taquillas de sitio. ¿Conseguirán dar con sus taquillas a la primera? Un nuevo reto de probabilidades para Pepe Vitruvio.

(Esta entrada participa en la Edición 7.2 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog La aventura de la ciencia)

PRIMERA PARTE

Una vez disputada la final del mundial de clubes entre el FC Barcelona y el River Plate, al presidente del Yokohama FC, organizador del torneo, se le presenta un dilema.

Los equipos finalistas le han regalado sendos balones de recuerdo, agradeciéndole la magnífica organización del torneo, para que los exhiba en el museo del estadio. El problema es que no sabe de quién es cada balón.

Curiosamente, entre los visitantes del museo se encuentra hoy Pepe Vitruvio, así que le ha solicitado su ayuda para este asunto.

- Qué es lo que ocurre?

- Como puedes ver, tanto el FC Barcelona como el River Plate nos han regalado dos balones con los que disputaron la final del mundial. El problema es que no sabemos qué balón corresponde a cada equipo, ya que su dedicatoria es muy parecida: nos agradecen la excelente organización.

- ¿Has probado a preguntarles cuál es el balón que ha firmado cada equipo?

- Sí, hablé con los capitanes, pero no me quisieron aclarar la duda.

- Y, ¿qué quieres que haga yo?

- Bueno, me han contado que eres muy bueno resolviendo este tipo de casos, así que he pensado que quizás nos podrías echar una mano.

- No veo de qué forma. ¿No han escrito nada más en los balones?

- Sí, en uno de ellos han escrito un cero, y en el otro han puesto 1/3. Si hubiesen anotado un cero y un 3, no lo dudaría, ya que el resultado fue de 3 goles a 0 a favor del Barcelona. Pero como han apuntado 1/3 en vez de 3, no sé qué hacer. He pensado que quizás tú me puedas ayudar.

- Pues la verdad es que no veo la forma de relacionar dichas cifras con los dos equipos. Además, si te has fijado, delante de ambos números hay un símbolo matemático que significa que es un valor aproximado, lo cual me intriga aún más.

SEGUNDA PARTE

- No nos va a quedar más remedio que exponer los balones sin identificarlos. Creo que, en realidad, se trata de una pequeña venganza por la broma que les gastamos con las taquillas...

- ¿Qué broma fue esa?

- Bueno. Mientras disputaban el encuentro, movimos todas las taquillas de sitio durante un buen rato, hasta que quedaron totalmente desordenadas. Además, no había forma de distinguir una de otra por fuera. Más o menos lo que nos sucede ahora con los balones.

- Y qué ocurrió.

- Pues algo realmente asombroso. Cuando los jugadores del River Plate regresaron a su vestuario,  sin conocer lo que habíamos hecho, se dirigieron a las taquillas donde habían guardado su ropa, y todos ellos acertaron con la taquilla correcta al primer intento. Sin embargo, con los jugadores del Barça, ocurrió justo lo contrario, ninguno de ellos acertó con su taquilla.

- Creo que ahí puede estar la solución a tu problema.

- No lo entiendo.

- Veamos, como ya has señalado, lo que ocurrió con los jugadores del River Plate fue algo extraordinario. La probabilidad de que todos ellos acierten con su taquilla es realmente mínima, cercana al 0%.

- Y lo mismo ocurrirá con los del Barça, ¿no? La probabilidad de que ninguno de ellos acierte con su taquilla también debe ser muy pequeña.

- Sí, aunque no es tan pequeña como piensas. Este caso se conoce como el caso del guardarropa, o de los sombreros de Euler. El problema original consistía en un guardarropa de un teatro, en el que los asistentes iban depositando sus sombreros, y el encargado, al término de la función, los entregaba de forma aleatoria.

La cuestión radica en calcular la probabilidad de que ninguna persona se lleve su sombrero, o de que haya 3 personas que sí se lleven el suyo, o de que el encargado acierte con todos ellos.

- Eso debe ser complicado de calcular, ¿no?

- Bueno, para Euler fue bastante sencillo. En un principio, toda probabilidad la obtenemos dividiendo los casos favorables entre los casos posibles.

Los casos posibles son fáciles de calcular: se trata de las permutaciones de 20 elementos, en este caso, 20 taquillas:

El lío viene a la hora de calcular los casos favorables (Fn).

- Y ¿cómo se hace?

- Si queremos calcular la probabilidad de que ninguno de ellos acierte con su taquilla, deberemos restar al número total de permutaciones obtenido (20!), todas las permutaciones en las que alguna taquilla queda en su sitio inicial. Supongamos que la primera taquilla ha quedado en su sitio. Entonces, habrá que calcular las permutaciones de las otras 19 taquillas:

Y como cualquiera de las 20 taquillas puede ser la que haya permanecido en su lugar, no solo la primera, entonces tendremos un total de 20 · 19! casos a restar de las permutaciones posibles:

- Pero, me parece que hemos restado casos de más. Así, si 2 taquillas están en su sitio inicial, las habremos restado dos veces: cuando calculábamos las permutaciones quedando fija la primera taquilla, y cuando calculábamos las permutaciones quedando fija la segunda casilla.

- Correcto. Al número de casos que habíamos obtenido, para compensar esa doble resta, deberíamos sumar las permutaciones en las que haya dos taquillas que estén en su lugar, da igual cuáles sean y el orden en que las tomemos. Las 18 taquillas restantes generarán un número de permutaciones que será 18!, Como hay C(20,2) combinaciones distintas de escoger las dos taquillas que coinciden entre el total de 20, tendremos que sumar, a la cantidad que habíamos obtenido, C(20,2) · 18! casos de ordenar las taquillas, en las que hay dos taquillas que sí están en su sitio..

- Sí pero ahora, y por el mismo razonamiento que antes, habremos sumado varias veces, los casos en que haya tres taquillas en su lugar...

- Claro, ahora deberemos restar la cantidad de C(20,3) · 17! casos. Y así seguiremos hasta hallar la cifra exacta de casos en que ninguno acierta con su casilla, y que vendrá dado por la fórmula:

Y generalizando para n elementos:

Si dividimos el número de casos favorables (Fn) , que es lo que estamos calculando, por el número de casos posibles (n!), llegaremos a la fórmula general que nos indica la probabilidad de que en un conjunto de n elementos, haya k elementos que coincidan, y que quedará así:

Cuando el número de elementos tiene a infinito, esta probabilidad de que haya k taquillas que queden en su lugar tiende al valor de:

Si tenemos que k=20, esto es, que todos los jugadores aciertan su taquilla, o lo que es lo mismo, que todas las taquillas han quedado en su sitio inicial, como les ha ocurrido a los jugadores del River, entonces tenemos que la probabilidad es de 1/20! = 4,11·10^-19, esto es, prácticamente cero, como ya previmos.

Y si particularizamos el caso para k=0, esto es, que ninguno de los jugadores acierte su taquilla, o lo que es lo mismo, que ninguna taquilla haya quedado en su sitio, como les ha ocurrido a los jugadores del Barcelona, entonces tenemos que la probabilidad es de 1/e,

- ¡Vaya, el famoso número e!

- Como sabes, el número e fue descubierto por el escocés John Napier sobre el año 1600, y ampliamente estudiado por Leonhard Euler. ¿Recuerdas la historia de los banderines de Euler?

- Sí. Pero nadie ha escrito una e en ninguno de los dos balones.

- Lo que aquí verdaderamente nos importa es el valor de este número trascendente e irracional:

e ≈ 2,7182818284…

- Así que 1/e es aproximadamente 1/3…

- Por tanto, podemos determinar que el balón con el número ≈ 1/3 se corresponde con el que nos dedicaron los jugadores del Barça, y el del ≈ 0 se corresponde con el del River Plate.

- ¡Efectivamente!

- Pues muchas gracias por todo, Pepe. Ahora mismo voy a rotular los dos balones. Espero verte en la próxima edición del Mundial. ¡Y sabes que tienes reservado uno de los mejores palcos!

- Muchas gracias, Yasuhiko. ¡Hasta el próximo mundial!

Si te apetece profundizar más sobre los temas tratados en esta historia, puedes visitar cualquiera de estas estupendas páginas: El número e al desnudo: orígenes y curiosidades, El número e, Aprendiendo de Euler, El número de euler: aplicaciones y didáctica, Invitation to discrete Mathematics.

Y no os olvidéis de dar una vuelta por el Carnaval de Matemáticas y votar la historia que más os guste. Allí encontraréis unos excelentes artículos matemáticos de los que disfrutaréis con su lectura.

Los banderines de Euler

Leonhard Euler ha sido uno de los más brillantes matemáticos de la historia. Escritor prolífico, tanto en numerosas ramas de las ciencias, como del saber en general, a menudo se le considera el padre de la Topología. Aunque, hoy en día, se le venera más por ser el inventor de los sodokus (cosas de los tiempos en que vivimos).

(Esta entrada participa en la Edición 6.7: El punto del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es, en esta ocasión, Matifutbol)

PRIMERA PARTE

Dentro de una semana se disputará la final femenina de la Champions League en el Millenium Stadium de Cardiff.

El responsable de la organización del evento, Trefor Lloyd Hughes, acaba de recibir una misiva: la Asociación de Topólogos Anónimos amenaza con hacer detonar tres bombas colocadas en línea bajo el terreno de juego, si no se cumplen sus exigencias.

Como no hay tiempo que perder, Trefor ha llamado inmediatamente a Pepe Vitruvio, para ver si le puede echar una mano con el asunto.

- Hola, Pepe. Gracias por acudir tan pronto.

- Hola Trefor. Cuéntame, ¿qué es lo que ocurre?

- ¿Ves este escrito? Nos la ha enviado la Asociación de Topólogos Anónimos. Dicen que han colocado tres bombas alineadas, debajo del césped del estadio. Por lo visto, este verano, cuando cambiamos toda la hierba del terreno de juego, las instaló un jardinero que pertenecía a su organización.

- ¿Y qué es lo que quieren?

- Parece ser que tenían alquilado para sus reuniones un apartamento en la calle Guthrie, pero el casero les desalojó, molesto porque habían pintado todas las paredes con cuatro colores chillones.

Buscaron una nueva sede, pero tan sólo encontraron un local en la calle Menger, con un montón de huecos en las paredes por los que se colaba un viento muy desagradable, que hacía inhabitable el lugar.

En la avenida de Klein hallaron un local disponible, pero no fueron capaces de acceder a su interior. Y también había un apartamento libre en la otra acera de la calle Moebius, pero por mucho que anduvieron tampoco pudieron llegar a él.

Así que reclaman a las autoridades que les faciliten un lugar donde poder establecer su sede y reunirse, ya que ahora deben hacerlo bajo uno de los arcos del puente Kaliningrado. De lo contrario, esta noche harán estallar las tres bombas situadas bajo el césped del terreno de juego.

- Bueno, no parece tan grave. Si explotan por la noche, no van a causar ningún daño a nadie. Y mañana por la mañana los jardineros podrán arreglar los destrozos que ocasionen en el césped, ¿no?

- Pues no es tan sencillo. El césped tardará en recuperarse 15 días, y dentro de una semana se celebra en nuestro estadio la final de la Champions League femenina, y dos días después la final masculina. Así que el terreno de juego no estará en perfectas condiciones para que puedan disputarse dichos partidos...

- ¿Y qué quieres que haga?

- He pensado que a lo mejor podrías ayudarnos a encontrar las bombas. En el mensaje dicen que las tres están alineadas. De forma que si averiguamos dónde están, y cavamos sólo en esos sitios puntuales, quizás el jardinero sí pueda arreglar el desperfecto y se puedan celebrar los partidos. ¿Crees que serás capaz de localizarlas?

SEGUNDA PARTE

- ¿No tenemos más pistas?

- Bueno, de forma fortuita, ya hemos encontrado una de las bombas.

- ¿Ah, sí? ¿Dónde estaba?

- Justo debajo del banderín de córner. Como ves, han realizado pintadas en los banderines de las esquinas. Concretamente han escrito tres vocales (e, i, o) y una letra griega (π). Así que hemos retirado el palo para reemplazar el banderín de la esquina que habían pintado con la letra o, y hemos encontrado una de las bombas debajo del mismo.

- ¿Habéis buscado debajo de los restantes banderines?

- Sí, pero ya no había ninguna más. Lamento no poder darte más pistas. De todas formas, para ti seguro que será fácil averiguar su ubicación, ya que ya sabes dónde está una de las bombas, y en el mensaje indican que están alineadas.

- No es tan fácil. Por un punto, en este caso por donde está situado el banderín de córner, pasan infinitas rectas.

- Sí, pero podemos eliminar todas las que no atraviesan el terreno de juego.

- Aún así, siguen siendo infinitas. De todas maneras, creo que quizás las letras que han escrito en los banderines pueden aportarnos pistas sobre el asunto.

- Ah, ¿sí?

- Sí. Me has comentado que la misiva la firmaba la Asociación de Topólogos Anónimos, ¿verdad?

- Es cierto.

- Entonces es muy probable que lo que han escrito en los banderines no sean letras, como tú dices, sino números.

- ¿Números?

- Sí. Sobre el banderín que habéis retirado habían escrito una letra o, según comentas. Pero yo creo que se trataba del número cero.

- Puede que tengas razón, ambos se parecen. Pero ¿qué me dices de las otras dos vocales?

- Pues ambas parecen letras, pero ninguna de ellas lo es. La letra e representa a la constante de Euler o de Napier, que equivale a 2,7182818284… Fue Napier quien introdujo la herramienta matemática del logaritmo, y Jacob Bernouilli el que descubrió esta constante. Pero sería Leonhard Euler el que comenzó a utilizar la letra e para su identificación en 1727, y quien primero la usó en una publicación, concretamente en su obra Mechanica de 1736.

- ¿Y esta constante e sirve para algo?

- Pues aparece en muchos procesos naturales que tienen un crecimiento continuo. Sirve para determinar la antigüedad de los fósiles, para calcular el interés compuesto continuo de una cuenta bancaria o de un préstamo, para estimar el crecimiento de ciertas poblaciones como las bacterias, para determinar la forma que adopta un cable o cuerda colgados por sus extremos, para facilitar los cálculos trigonométricos ligados a la navegación y a la astronomía, para calcular la velocidad de vaciado de un depósito de agua, o incluso en criminología, para determinar el momento de la muerte en un asesinato.

- ¡Caramba! Pero no me dirás que la letra i es también un número...

- Sí, también lo es. Representa a la raíz cuadrada de -1, y es la unidad imaginaria, base de los números complejos. Gottfried Leibniz ya los descubrió en el siglo XVII, pero fue Leonhard Euler quien, en 1777, les dio el nombre de i, inicial de 'imaginarios', en contraste con el resto de números ‘reales’.

- ¿Y este número mágico también sirve para algo?

- Este número i permite resolver determinados problemas de Física, especialmente en aquellos sistemas relacionados con movimientos sinusoidales: en los campos de la electricidad y la electrónica, la aerodinámica y la telemática, así como en el mundo de la mecánica cuántica.

- Y ahora me contarás que también fue Euler quien inventó el número pi...

- No exactamente. El primero en utilizar la letra griega π para denominar a la constante que relaciona la longitud de la circunferencia con su diámetro fue William Oughtred, utilizando la letra inicial de la palabra griega περιφέρεια (periferia), pues los griegos denominaban así al perímetro del círculo. Pero dicha notación no se extendió entre los matemáticos hasta 1748, cuando Leonhard Euler la popularizó al utilizarla en su obra Introducción al cálculo infinitesimal.

- Este Euler aparece por todas partes...

- No te debe extrañar que todas estas notaciones se deban a la obra de Euler. Fue un matemático muy prolífico, pues escribió miles de ensayos sobre prácticamente todos los campos del saber, que ocuparían unos 80 volúmenes.

Leonhard Euler trató sobre las funciones matemáticas, los logaritmos, la astronomía, las funciones trigonométricas, la hidrodinámica, los sumatorios, la mecánica, los poliedros, las fracciones, las series, las integrales, los diagramas, las ecuaciones, el razonamiento lógico, o la óptica. Planteó interesantes problemas como el problema de los sombreros. E incluso tuvo tiempo para inventar los sodokus, cuando estaba estudiando el cálculo de probabilidades.

Entre sus obras, destaca el problema de los puentes de Königsberg, que algunos consideran el punto de partida de la Topología. Por eso no es de extrañar que los Topólogos Anónimos le hayan rendido un especial homenaje escribiendo estos símbolos en los banderines.

- ¿Y crees que tiene algo que ver el problema de los puentes con la ubicación de las bombas?

- No, no lo creo. Más bien creo que deberemos aplicar otro de sus famosos teoremas, el de la Recta de Euler, desarrollado y demostrado por nuestro amigo Leonhard en 1765.

- ¿Y en qué consiste?

- Pues establece que todos los puntos notables del triángulo se sitúan sobre una sola línea recta. Estamos hablando del ortocentro, el circuncentro y el baricentro. Aunque también hay otros muchos puntos notables que se encuentran en dicha recta, como el punto de Longchamps, el punto de Schiffler, el punto de Exeter, el punto far-out, o el incentro (aunque éste solamente en los triángulos isósceles)

- Yo creía que el triángulo tenía un solo centro, y ya está...

- Pues la Enciclopedia de los Puntos Notables del Triángulo recoge más de 8.000. Aunque sólo unos cuantos son realmente utilizados y conocidos.

Así, el ortocentro es el punto donde se cortan las alturas de un triángulo, que son las rectas perpendiculares a los lados y que pasan por los vértices opuestos.

El baricentro es el punto donde se cortan las medianas, que son las líneas que unen los vértices con los puntos medios de los lados opuestos.

Y el circuncentro es el punto donde concurren las mediatrices, que son las líneas perpendiculares a los lados por su punto medio.

- Entonces, ¿piensas que todas las bombas estarán en esa recta de Euler que une todos esos puntos?

- Sin duda. El problema es determinar qué triángulo, de los cuatro que se pueden formar con los banderines como vértices, es el que tenemos que coger. Aunque me dijiste que la bomba la encontrasteis debajo de uno de los banderines, ¿verdad?

- Sí, así es. Estaba debajo del banderín con la letra o, digo con el número cero.

- Entonces podemos descartar dos de ellos (0eπ y 0iπ), y nos quedan sólo dos triángulos en los que la bomba que habéis detectado bajo el banderín estaría situada en la recta de Euler de ambos: el 0ei y el πei.

Si te fijas en el dibujo, verás que la recta de Euler del triángulo 0ei se corresponde con la diagonal del campo. Y además, por simetría, es coincidente con la recta de Euler del triángulo πei.

- Pues manos a la obra. No perdamos más tiempo. Abriremos una pequeña zanja en la diagonal del campo.

- Antes de hacerlo, yo intentaría precisar más la ubicación de las bombas. En el caso de que el triángulo correcto sea el 0ei, la bomba encontrada estaría justo en su ortocentro. Así que yo empezaría por cavar un agujero en el circuncentro y en el baricentro de este triángulo.

- ¿Y dónde están cada uno de esos otros puntos?

- El más fácil de encontrar es el circuncentro. Hemos dicho que es el punto donde se cruzan las mediatrices. Y las mediatrices son las perpendiculares a los lados por su punto medio. Si trazamos una perpendicular a la línea de banda por el centro del campo, y otra perpendicular a la línea de gol por su centro, ¿dónde nos encontraremos?

- ¿En el punto del centro del campo?

- Efectivamente. Y para calcular el baricentro, hay una sencilla fórmula para conocer su ubicación. Si las coordenadas de los vértices del triángulo son (x1, y1), (x2, y2) y (x3, y3), entonces las coordenadas del baricentro serán ([x1+x2+x3]/3, [y1+y2+y3]/3).

Según esta fórmula, si el terreno de juego tiene 96 metros de largo y 72 metros de ancho, el baricentro se situará a (96+0+0)/3 = 32 metros de la línea de fondo y a (72+0+0)/3 = 24 metros de la línea de banda, dentro del terreno de juego.

- Estupendo, pero, ¿habrá que cavar mucho?

- No te preocupes. Las bombas estarán en dichos lugares, justo a un metro de profundidad.

- ¿Cómo lo sabes?

- Porque todos los símbolos que han pintado están incluidos en la denominada ‘la fórmula matemática más bella del mundo’, que a estas alturas ya sabrás quién la concibió...

- ¡Euler!

- Efectivamente. Euler consiguió juntar todos estos símbolos que provienen de distintas ramas de las Matemáticas en una sola fórmula que describe la función exponencial compleja,

y que para el caso particular de cuando x = π queda reducida a la siguiente expresión:

  

Como puedes observar, el único término que no han escrito en los banderines es el 1. Por tanto, que me atrevo a decir que las bombas las encontrarás a 1 metro bajo el suelo.

- Bien, pues diré al jardinero que se ponga de inmediato a cavar en esos puntos.

¡Vaya! Creo que ya ha encontrado la segunda bomba. ¡Y también la tercera! Justo donde dijiste. Ahora el jardinero tendrá tiempo de arreglar el césped, y se podrán disputar las finales.

- Me alegro.

- Solo espero que los Topólogos Anónimos no tomen represalias contra nosotros durante estos días que faltan para el encuentro...

- No te preocupes. Hablaré con ellos. Conozco un sitio donde seguro que encontrarán alojamiento.

- Ah, ¿sí? ¿Cómo estás tan seguro?

- Muy sencillo. Les diré que vayan de mi parte al hotel Hilbert. Allí les atenderán bien (creo que en su cafetería sirven unas tazas de chocolate y unas rosquillas fantásticas), y no darán más problemas.

- Pero, ¿tendrán locales libres para ellos?

- Sin duda. Y si no, les harán un hueco.

- Estupendo. Gracias por todo, Pepe. Ya sabes que tienes reservado un palco de honor para presenciar las finales.

- Muchas gracias, Trefor, no me las perderé. Hasta pronto.

Si la entrada os supo a poco, podéis profundizar más sobre su contenido en estos magníficos artículos: The most beatiful equation of math: Euler's identity, El ránking de las ecuaciones más bellas, La historia de la "fórmula matemática más bella del mundo", Los puentes de Königsberg: el comienzo de la teoría de grafos, Leonhard Euler, La recta de Euler en los triángulos, La identidad de Euler.

Y, sobre todo, no os olvidéis de dar una vuelta por el Carnaval de Matemáticas y votar la historia que más os guste. Allí encontraréis unos excelentes artículos matemáticos de los que disfrutaréis con su lectura.