Sabotaje en las tiendas

El método de simplificación consiste en transformar una expresión en otra equivalente más simple, más sencilla para trabajar con ella, o más fácil de memorizar. Simplificamos fracciones, polinomios, potencias y radicales... Es una herramienta muy útil en Matemáticas, pero también resulta un procedimiento peligroso si no lo usamos con las debidas precauciones.

(Esta entrada participa en la Edición 6.6 Números vampiro del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Scire Science)

PRIMERA PARTE

El presidente del Real Madrid está preocupado. No le salen las cuentas de las ventas de sus tiendass.

Tras el fichaje de Iker Casillas por el Oporto, quiere liquidar cuanto antes el stock de camisetas del anterior portero.

Para conseguirlo, ha dado instrucciones a las dos tiendas oficiales del club. En la que está próxima al estadio Santiago Bernabéu, se venden 2 camisetas por 20 € en total, mientras que en la que está más alejada del estadio, la oferta es de 3 camisetas por 20 €.

Durante la primera semana se han vendido un total de 6.000 camisetas, 3.000 en cada una de las tiendas. En total se han recaudado 50.000 €.

Pero aún quedan muchas camisetas por vender, así que en la segunda semana han optado por cambiar la oferta.

Si antes, de cada 5 camisetas, vendían 2 por 20 € y otras 3 por 20 €, ahora en ambas tiendas venderán lotes de 5 camisetas por 40 €, obteniendo las mismas ganancias por cada 5 camisetas.

Durante la segunda semana, se ha vuelto a vender el mismo número de camisetas (6.000), también 3.000 en cada tienda, pero la recaudación ha descendido a 48.000 euros.

En el club no se explican por qué han recaudado menos. Piensan que quizás algún empleado de las tiendas ha robado parte de la recaudación.

El caso es que aún quedan 6.000 camisetas de Iker por vender. Esta vez han decido hacer un reparto distinto. De cada 5 camisetas, venderán lotes de 3 camisetas a 15 € en la tienda del estadio, y lotes de 2 camisetas a 25 € en la tienda de Gran Vía. Así, por cada 5 camisetas volverán a obtener 40 € en total.

Por fin se venden las 6.000 camisetas restantes, nuevamente 3.000 en cada tienda. Pero esta vez se recaudan 52.500 euros.

Ahora sí que los dirigentes no comprenden nada. Es posible que el empleado que robó la semana anterior los 2.000 euros los haya devuelto, o que contasen mal el dinero recaudado la semana pasada. Pero, ¿cómo explicaríamos entonces los 500 euros sobrantes de la tercera semana?

Sin duda, este es un misterio que solo Pepe Vitruvio puede resolver, así que Florentino llama a Pepe para que acuda a aclarar el enigma.

SEGUNDA PARTE

- Hola, Florentino, ¿qué tal?

- Pues ya ves. Tenemos un pequeño problema. Hemos vendido 18.000 camisetas en tres semanas. Por cada 5 camisetas hemos pedido 40 €, así que deberíamos haber ingresado 144.000 euros. Y sin embargo, hemos recaudado 6.500 euros más.

- Bueno, eso está bien. Con ese dinero sobrante podréis fichar un nuevo portero, ¿no? O también podéis comprar un fax de última tecnología...

- El tema es que durante las tres semanas hemos vendido el mismo número de camisetas y, sin embargo, cada semana hemos recaudado un importe distinto.

- Ya veo. ¿Todas las camisetas se vendían al mismo precio?

- No. Disponemos de dos puntos de venta, y en cada uno de ellos hemos realizado una oferta distinta.

- Bueno, pues eso lo explica todo.

- ¡Qué va! Por cada 5 camisetas, lo que ingresábamos de menos en una tienda lo recaudábamos de más en la otra.


- Entonces está claro. En la tienda donde tuvieseis una mejor oferta seguro que se vendían más camisetas que en la otra. De ahí la diferencia.

- ¡Pues tampoco! Resulta que a pesar de las ofertas, siempre vendíamos el mismo número de camisetas en cada una de las tiendas. Así que las diferencias tampoco se debían a que vendiésemos más camisetas en la tienda más barata.

Creo que hay algún empleado que nos quiere volver locos con todo esto, quizás algún seguidor incondicional de Iker al que no le ha gustado que se vaya del Real Madrid, o algo así. Me gustaría encontrar al saboteador.

- Pues me parece que tal persona no existe. Simplemente se trata de una pequeña paradoja matemática, debido a la simplificación que realizáis en los cálculos.

- Ah, ¿sí? ¿De qué se trata?

- Vamos a ver. Comencemos por la semana central, en la que en ambas tiendas se vendían lotes de 5 camisetas a 40 euros. Si se vendieron 6.000 camisetas en total, podemos decir que se vendieron un total de  1.200 lotes de 5 camisetas, o lo que es lo mismo, a 8 euros la camiseta, ¿verdad?



- Sí, creo que está bastante claro.

- Pues ahora vamos a ver lo que ocurrió la primera semana.

- Entonces también vendíamos lotes de 5 camisetas a 40 euros, solo que por separado. En la tienda del Bernabéu se vendían 2 camisetas a 20 euros, y en Gran Vía se vendían las 3 camisetas restantes a 20 euros.

- Ahí es dónde está la trampa. En este caso no podemos hablar de lotes de 5 camisetas, ya que no es del todo exacto. Estáis simplificando erróneamente la distribución de vuestras ventas.

- ¿Por qué?

- En cada tienda se vendieron 3.000 camisetas, ¿verdad?

- Así es.

- Pues en este caso sólo podemos hablar de 1.000 lotes de 5 camisetas (vendidas a una media de 8 euros cada una). Y un sobrante de 1.000 camisetas, que se vendieron en la tienda del Bernabéu a razón de 2 camisetas por 20 euros, esto es, a 10 euros la camiseta.

Por eso, como parte de las camisetas se vendieron más caras, es por lo que en la primera semana se recaudó más dinero.



- Y si nos fijamos en la última semana, vemos que se vendieron un total de 1.000 lotes de 5 camisetas a 40 euros en total (a una media de 8 euros la camiseta). Y sobraron 1.000 camisetas en la tienda de Gran Vía, que se vendieron a 2 por 25 €, es decir, a 12,5 euros la camiseta.

Ese es el motivo por el que esta semana es la que se recaudó más dinero de las tres semanas

- Ahora lo entiendo. Así que no tenemos que buscar ningún saboteador...

- ¡Qué va! El error se debía a considerar que siempre se vendían 1.200 lotes de 5 camisetas, cuando eso solo ocurrió una de las semanas.

- ¿Y esto ha ocurrido alguna otra vez?

- Sí. El divulgador Malba Tahan, en su libro 'El hombre que calculaba', presenta el caso similar de unos vendedores de piñas. Y Martin Gardner, en su libro '¡Ajá! Paradojas que hacen pensar', muestra un ejemplo parecido que tiene lugar en una tienda de discos.

- Ya veo. Pues nada, ya me quedo más tranquilo. Ahora habrá que ver qué podemos hacer con el dinero que hemos recaudado de más.

- Bueno, seguro que hay alguna asociación filantrópica a la que regalarle ese dinero sobrante. O bien, puedes comprar una partida de libros de matemáticas recreativas, y regalarlos al inicio del próximo partido, a todos los niños que acudan al estadio. Seguro que así conseguirás incrementar la afluencia al campo.

- Lo estudiaremos. Parece una buena idea. Hasta luego, Pepe, y muchas gracias por todo.

- Hasta la vista, Florentino.

Y, sobre todo, no os olvidéis de dar una vuelta por el Carnaval de Matemáticas y votar la historia que más os guste. Allí encontraréis unos excelentes artículos matemáticos de los que disfrutaréis con su lectura.